スクショとってツイートします。
特性方程式が元の漸化式と同じ形になる理由
\(a_{n+1}=pa_n+q\)とか\(a_{n+1}=\frac{pa_n+q}{ra_n+s}\)みたいな漸化式を解くときは、特性方程式
$$
\begin{aligned}
x&=px+q\\
x&=\frac{px+q}{rx+s}
\end{aligned}
$$
つまり元の漸化式の\(a_{n+1}\)や\(a_n\)に\(x\)を代入しただけの方程式を解く訳ですが、
特性方程式が元の漸化式と同じ形になる理由はあまり聞いたことが無かったので僕のイメージを書いてみます。
隣接二項間漸化式が\(a_{n+1}=f(a_n)\)だとして、上の例だと定数項を消したい,つまり
$$
\left \{\begin {array}{cl}
a_{n+1}-\alpha &=&g(a_n-\alpha )\\
g(0)&=&0
\end{array}\right.
$$
を満たすような関数\(g(x)\)が存在する\(\alpha\)を見つけることを目標としているわけです。実際に
$$
\left \{
\begin {array}{cc}
f(x)-\alpha &=&g(x-\alpha )\\
g(0)&=&0
\end {array}
\right.
$$
の上の式で\(x=\alpha\)を代入することで
$$f(\alpha)=\alpha $$
となっていて、これが求めたい特性方程式です。