この記事は、数学の素人によるメモ書きです。内容の正確性は一切保証しません。
ヘッケ作用素について考えていたら、モジュラー形式を格子上の関数として考えると分かりやすい気がしたので、
考えたことをここにメモする。
上半平面を$\fH$とする.
$$
\begin{align*}
\Omega &:= \{(\omega_1,\omega_2 )\mid \omega_1,\omega_2\in \C^{\times},\,\omega_1/\omega_2\in \fH\}\\
\mathcal{L}&:=\{\langle \omega_1,\omega_2\rangle \mid (\omega_1,\omega_2)\in \Omega\}
\end{align*}
$$
とし, $\mathcal{L}$の元を格子と呼ぶ.
また, 写像$f\colon \mathcal{L}\to \C$が重さ$k$の格子関数であるとは,
$$
\forall \alpha \in \C^{\times},\,f(\alpha \Lambda)=\alpha^{-k}f(\Lambda)
$$
を満たすこととする.
$f$を重さ$k$の格子関数とする. このとき, $\tau \in \fH$に対して
$$f(\tau)=f(\langle\tau,1\rangle)$$
と定めることにより, $f$を$\fH$上の関数だと思うことができる.
$f$に正則性の条件を課せば, $f$は$\SL_2(\Z)$上のモジュラー形式となる.
というのも, $f$は格子関数であるから,
$\tau\in \fH,\,\matrix{}{a&b\\c&d}\in \SL_2(\Z)$に対して
$$
\begin {aligned}
f(\tau)
&=f(\langle τ,1\rangle)\\
&=f(\langle a\tau+b,c\tau+d\rangle)\\
&=f\left ((c\tau+d)\left\langle\frac {a\tau +b}{c\tau +d},1\right\rangle\right )\\
&=(c\tau+d)^{-k}f\left (\left\langle\frac {a\tau +b}{c\tau +d},1\right\rangle\right )\\
&=(c\tau+d)^{-k}f\left (\frac {a\tau +b}{c\tau +d}\right )
\end {aligned}
$$
となる.